Définition

Soit \(f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb C}\), \(f\in L'({\Bbb R})\)
Alors la transformation de Fourier de \(f\) est : $${{F(f)(\xi)=\hat f(\xi)}}={{\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-2\pi ix\xi}\,dx}}$$ avec \(\xi\in{{{\Bbb R}}}\)
(Intégrale impropre - Intégrale généralisée, Ecriture exponentielle d'un nombre complexe)

Intérêt

La transformation de Fourier permet de décomposer un signal en une somme de sinusoïdes Le principal défaut de la transformation de Fourier est "qu'elle ne tient pas compte du temps" : elle décompose le signal comme une superposition de notes émises de façon continue

Formules utiles

Théorème du changement d'échelle de temps - Théorème de concentration-dilatation
Théorème du retard
Théorème de modulation
Transformée de Fourier inverse $$F({{a_1f_1+a_2f_2}})={{a_1F(f_1)+a_2F(f_2)}}$$
$$F({{f(-t)}})(\xi)={{F(f)(-\xi)}}$$
$$\begin{align} F({{\overline f}})(\xi)&={{\overline{F(f)(-\xi)} }}\\ F({{\overline f(t)}})&={{\overline{F(f(-t))} }}\end{align}$$
$$F({{e^{2i\pi\xi_0t}f(t)}})(\xi)={{F(f)(\xi-\xi_0)}}$$ $$F(f)({{0}})={{\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)\,dt}}$$

Propriétés

La transformée de Fourier est continue et bornée
(Continuité, Fonction bornée)
La transformée de Fourier tend vers \(0\) quand \(\xi\) tend vers \(\pm\infty\)
(Limite en l'infini)
Si \(f\) est réelle et paire, alors \(F(f)\) est réelle et paire
(Fonction réelle, Fonction paire)
Si \(f\) est réelle et impaire, alors \(F(f)\) est imaginaire pure et impaire
(Fonction impaire, Nombre imaginaire - Imaginaire pur)
Deux fonctions qui ont la même transformée de Fourier sont égales presque partout
Deux fonctions continues ayant la même transformée de Fourier sont égales
(Continuité)

Utilisation

Signal
Onde gravitationnelle

Concepts liés

Formule d'interpolation de Shannon-Whittaker
Transformée de Fourier $$\hat f(y):=\int_{\Bbb R} f(x)e^{-ixy}\,dx$$ pour \(f\) \(\in L^1({\Bbb R})\)

• pour définir la transformée de Fourier dans \(L^2({\Bbb R})\), on approxime \(f\) par une suite \((f_n)\) avec \(f_n\in L^1\cap L^2\)
• formule de la dérivée : \(\widehat{f^{(n) } }=(iy)^n\hat f\) si \(f^{(n)}\in L^2({\Bbb R})\)